MP-thermodynamique-calcul de surface et pression

[fredo]

Bonjour,
I)

j'ai un exercice de physique portant sur une cone

Je sais que la surface d'un tronçon du cone nous est donné par:
pi*a*(R+r) ou a est la partie de la génératrice entre R et r

j'ai besoin de calculer une surface dS d'un tronçon
le résultat qui m'est donné est 2*pi*r*dl où dl est la variation
infinitésimale de la génératrice

comment arrive t'on à ce résultat svp ? (ça fait trois jours que je
cherche)
J'ai procédé de cette façon mais je ne sais pas ce que ça vaut:
j'applique Thalès:
l/(l+dl)=r/R
dS=pi*dl*(R+r)
je remplace:
dS=pi*dl*r(1+l/(l+dl))
je pense que l/(l+dl)=1 mais je sais pas trop comment le justifier
autrement que par "dl est infiniment petit par rapport à l", en toute
rigueur, comment fait-on ?
donc
dS=2*pi*r*dl



II)
Concernant la demonstration de l'equation locale de la statique des
fluides
dp=-r*g*dz (r=rho)
Dans un fluide en équilibre on considère une tranche élémentaire
horizontale de fluide,de masse dm, de surface S et d'épaisseur dz
entre les cotes z et z+dz

Le point qui me gène étant:
Soit p la pression du fluide à l'altitude z
p+dp la pression à l'altitude z+dz
comment sait-on que la pression est l'alitude varient de la meme façon
(autrement dit qu'est ce qui nous permet de justifier qu'une
augmentation d'altitude dz entraine exactement une variation de
pression dp ? (ne connaissant pas le lien entre les deux, l'un
pourrait varier au carré par rapport à l'autre non par exemple ?))

III)
j'ai un exercice avec un bac dont le bord est un plan incliné de 60°
par rapport à la verticale (en gros c'est une piscine)
je dois calculer la pression exercée sur ce bord quand il est rempli
d'eau
je considère un élément dS ce plan (ou ce bord comme l'on veut)
soit (oz) un axe dirigé de haut en bas, L la largeur, cos 60=0.5, l la
longueur du bord incliné
on obtient:

dS=L*dl
dS=L*cos 60 * dz

on a:
dF=p*dS

mais la pression n'est pas la meme sur tout l'élément dS ! Elle varie
de façon infinitésimale non ? En toute rigueur qu'est ce qui permet de
négliger sa variation ? (dF étant une très petite valeur, il me semble
aberrant d'affimer que p est constante)
ne serait-ce pas plus juste de faire :

d²F=dp*dS ?

par avance, merci pour vos réponses

Fredo

[moky]

Post by fredo
Bonjour,
I)
j'ai un exercice de physique portant sur une cone
pi*a*(R+r) ou a est la partie de la génératrice entre R et r

Est-ce que tu peux préciser ce que sont r et R ?
Chez moi, un cône est seulement donné par le coefficient angulaire des
génératrices.

Est-ce que tu veux parler de la surface latérale du cône entre la
hauteur où son rayon est r et celle où son rayon est R ?

Si oui, calcule S(h), la surface de zéro à la hauteur h, ensuite calcule
les hauteurs h1 et h2 qui correspondent aux rayons r et R, et enfin
calcule la différence S(h1)-S(h2).

Pour calculer S(h), tu peux soit intégrer 2*pi*r(h) (la circonférence en
fonction de la hauteur), soit voir le cône comme la surface de
révolution d'une droite qui passe par l'origine ... il y a plein de
méthodes, ça dépend de ce que tu connais.

Autre chose : ne poste pas plusieurs questions dans le même fil. Crée un
fil par question.

Bonne journée
Laurent

[Lucas Levrel]

Post by fredo
dS=pi*dl*r(1+l/(l+dl))
je pense que l/(l+dl)=1 mais je sais pas trop comment le justifier
autrement que par "dl est infiniment petit par rapport à l", en toute
rigueur, comment fait-on ?

Ici dS est un infiniment petit du premier ordre, donc seul l'ordre un du
membre de droite a un sens. Or tu as déjà dl en facteur, donc seul l'ordre
zéro du terme entre parenthèses compte.

Post by fredo
Soit p la pression du fluide à l'altitude z
p+dp la pression à l'altitude z+dz
comment sait-on que la pression est l'alitude varient de la meme façon
(autrement dit qu'est ce qui nous permet de justifier qu'une
augmentation d'altitude dz entraine exactement une variation de
pression dp ? (ne connaissant pas le lien entre les deux, l'un
pourrait varier au carré par rapport à l'autre non par exemple ?))

Écrire ceci ne préjuge pas de la relation entre dp et dz ! Quand z varie,
p varie. On note dp la variation de p, dz celle de z. Où est le problème ?

Post by fredo
j'ai un exercice avec un bac dont le bord est un plan incliné de 60°
par rapport à la verticale (en gros c'est une piscine)
je dois calculer la pression exercée sur ce bord quand il est rempli
d'eau
je considère un élément dS ce plan (ou ce bord comme l'on veut)
soit (oz) un axe dirigé de haut en bas, L la largeur, cos 60=0.5, l la
longueur du bord incliné
dS=L*dl
dS=L*cos 60 * dz

Sûrement pas ! dl est plus grand que dz, car dz est la projection de dl
sur l'axe z.

Post by fredo
dF=p*dS
mais la pression n'est pas la meme sur tout l'élément dS ! Elle varie
de façon infinitésimale non ? En toute rigueur qu'est ce qui permet de
négliger sa variation ? (dF étant une très petite valeur, il me semble
aberrant d'affimer que p est constante)
d²F=dp*dS ?

Non. Prenons l'exemple d'une surface sur laquelle p est constante (le fond
de la piscine). F=p*S. Si je considère un petit élément dS, il subit
dF=p*dS. OK jusque là ?

Maintenant considérons l'élément du bord dont tu parles. En haut de cette
tranche, la pression est p(z), en bas, elle est p(z+dz) (z est vers le
bas). Avec un DL on a p(z+dz)=p(z)+dz*(dp/dz)+O(dz²). (Ici rho est
constante donc p(z+dz)=p(z)+rho*g*dz, il n'y a pas de termes d'ordre
deux ou plus, mais je préfère t'expliquer en toute généralité.)

Donc la pression est au moins p(z), et augmente un peu vers le bas. Si tu
calcules la force de pression, tu obtiens une grosse contribution de la
part de p(z), et une petite correction due au terme en dz :
dF=p(z)*dS + 1/2*dz*(dp/dz)*dS + O(dz²*dS)
(le 1/2 vient du fait qu'à cet ordre p est affine en fonction de z,
autrement dit la « primitive de x » est x²/2 et non pas x²)

Tu vois que le second terme et les suivants sont infinitésimaux devant le
premier.

N'oublie pas que la notation « d » cache un passage à la limite. Donc seul
le terme d'ordre le plus bas a un sens. Voici un exemple élémentaire.
Soit f(x)=x². f(x+dx)=x²+2*x*dx+dx², on néglige dx², ou plus exactement
dx² *est* négligeable. Donc df=2*x*dx, on a bien f'=df/dx=2*x.

[xfredox]

Post by Lucas Levrel

Post by fredo
dS=pi*dl*r(1+l/(l+dl))
je pense que l/(l+dl)=1 mais je sais pas trop comment le justifier
autrement que par "dl est infiniment petit par rapport à l", en toute
rigueur, comment fait-on ?

Ici dS est un infiniment petit du premier ordre, donc seul l'ordre un du
membre de droite a un sens. Or tu as déjà dl en facteur, donc seul l'ordre
zéro du terme entre parenthèses compte.

Post by fredo
Soit p la pression du fluide à l'altitude z
p+dp la pression à l'altitude z+dz
comment sait-on que la pression est l'alitude varient de la meme façon
(autrement dit qu'est ce qui nous permet de justifier qu'une
augmentation d'altitude dz entraine exactement une variation de
pression dp ? (ne connaissant pas le lien entre les deux, l'un
pourrait varier au carré par rapport à l'autre non par exemple ?))

Écrire ceci ne préjuge pas de la relation entre dp et dz ! Quand z varie,
p varie. On note dp la variation de p, dz celle de z. Où est le problème ?

Post by fredo
j'ai un exercice avec un bac dont le bord est un plan incliné de 60°
par rapport à la verticale (en gros c'est une piscine)
je dois calculer la pression exercée sur ce bord quand il est rempli
d'eau
je considère un élément dS ce plan (ou ce bord comme l'on veut)
soit (oz) un axe dirigé de haut en bas, L la largeur, cos 60=0.5, l la
longueur du bord incliné
dS=L*dl
dS=L*cos 60 * dz

Sûrement pas ! dl est plus grand que dz, car dz est la projection de dl
sur l'axe z.

Post by fredo
dF=p*dS
mais la pression n'est pas la meme sur tout l'élément dS ! Elle varie
de façon infinitésimale non ? En toute rigueur qu'est ce qui permet de
négliger sa variation ? (dF étant une très petite valeur, il me semble
aberrant d'affimer que p est constante)
d²F=dp*dS ?

Non. Prenons l'exemple d'une surface sur laquelle p est constante (le fond
de la piscine). F=p*S. Si je considère un petit élément dS, il subit
dF=p*dS. OK jusque là ?
Maintenant considérons l'élément du bord dont tu parles. En haut de cette
tranche, la pression est p(z), en bas, elle est p(z+dz) (z est vers le
bas). Avec un DL on a p(z+dz)=p(z)+dz*(dp/dz)+O(dz²). (Ici rho est
constante donc p(z+dz)=p(z)+rho*g*dz, il n'y a pas de termes d'ordre
deux ou plus, mais je préfère t'expliquer en toute généralité.)
Donc la pression est au moins p(z), et augmente un peu vers le bas. Si tu
calcules la force de pression, tu obtiens une grosse contribution de la
dF=p(z)*dS + 1/2*dz*(dp/dz)*dS + O(dz²*dS)
(le 1/2 vient du fait qu'à cet ordre p est affine en fonction de z,
autrement dit la « primitive de x » est x²/2 et non pas x²)
Tu vois que le second terme et les suivants sont infinitésimaux devant le
premier.
N'oublie pas que la notation « d » cache un passage à la limite. Donc seul
le terme d'ordre le plus bas a un sens. Voici un exemple élémentaire.
Soit f(x)=x². f(x+dx)=x²+2*x*dx+dx², on néglige dx², ou plus exactement
dx² *est* négligeable. Donc df=2*x*dx, on a bien f'=df/dx=2*x.
--
LL

Avant tout merci pour ces réponses précises !

merci pour cette suggestion Moky, la prochaine fois, j'envoie un flots
de questions :D

I) ok, on est d'accord :p

II) Je trouve bizarre que supposer une variation infinitésimale
implique une variation de p ne préjuge de rien (je ne cherche pas la
petite bête mais j'ai vraiment envie de comprendre)
Il y a forcement un lien particulier entre ces deux variables pour
supposer cela non ? Comment justifier que l'augmentation de la
pression et de l'altitude soit du même type ?
C'est bien parce qu'il existe un lien entre pression et altitude que
l'un influe sur l'autre ? Parce que si il n'est pas nécessaire d'avoir
un lien entre ces deux variables alors je peux très bien dire que
toutes les variables de l'univers sont influencées par la variation de
p par exemple ?


III) oui je suis allé trop vite pour exprimer avec le cosinus...
J'ai bien compris l'explication, merci.

Une petite précision:

A la question "
ne serait-ce pas plus juste de faire :

d²F=dp*dS ? "

tu réponds non. Si ce n'est pas PLUS juste, est-ce que c'est quand
même juste de le faire ?
Par ailleurs si je mettais par exemple:

D^3F=dp*d²S est ce que ça serait juste ?

D'où vient le fait que tu considères "à cet ordre p est affine en
fonction de z" ?

voila, avec ces réponses, je pense qu'on aura fait le tour,
par avance, merci

Frédéric

[Lucas Levrel]

Post by xfredox
II) Je trouve bizarre que supposer une variation infinitésimale
implique une variation de p ne préjuge de rien (je ne cherche pas la
petite bête mais j'ai vraiment envie de comprendre)
Il y a forcement un lien particulier entre ces deux variables pour
supposer cela non ? Comment justifier que l'augmentation de la
pression et de l'altitude soit du même type ?

Qu'entends-tu par « du même type » ?

Post by xfredox
A la question "
d²F=dp*dS ? "
tu réponds non. Si ce n'est pas PLUS juste, est-ce que c'est quand
même juste de le faire ?

Non.

Post by xfredox
D^3F=dp*d²S est ce que ça serait juste ?

Non plus, pour la même raison.

Il me semble que ton erreur est la suivante : sur la surface dS ou d²S, la
pression varie (avec l'altitude) de dp. Mais la pression *n'est pas* dp.
Elle varie de dp autour d'une valeur moyenne p(z).

On a force = pression × surface. Dans les cas étudiés ici, la pression
n'est jamais infinitésimale. Pour la surface, ça dépend :
- fond de la piscine : p est constante, on peut écrire F=p.S.
- bord de la piscine, tranche horizontale de longueur L et de largeur
infinitésimale dl : la surface est une différentielle première, dS=L.dl,
donc la force aussi, dF=p.dS=p.L.dL, car p n'est pas infinitésimale.
- surface infinitésimale « classique » : c'est-à-dire du deuxième ordre,
infinitésimale dans ses deux dimensions, d²S=dL.dl, la force est donc
aussi du deuxième ordre, d²F=p.d²S=p.dL.dl, car p n'est pas
infinitésimale.

Post by xfredox
D'où vient le fait que tu considères "à cet ordre p est affine en
fonction de z" ?

C'est une formulation peut-être maladroite d'un développement limité
ordinaire : f(x) = f(0) + f'(0).x + f''(0).x²/2 + ...
Au premier ordre, l'approximation est affine : f(x) ~= f(0) + f'(0).x

Post by xfredox
par avance, merci

Au plaisir.

[Ranger Brun]

Post by fredo
Bonjour,
I)
j'ai un exercice de physique portant sur une cone
pi*a*(R+r) ou a est la partie de la génératrice entre R et r
j'ai besoin de calculer une surface dS d'un tronçon
le résultat qui m'est donné est 2*pi*r*dl où dl est la variation
infinitésimale de la génératrice
comment arrive t'on à ce résultat svp ? (ça fait trois jours que je
cherche)
l/(l+dl)=r/R
dS=pi*dl*(R+r)
dS=pi*dl*r(1+l/(l+dl))
je pense que l/(l+dl)=1 mais je sais pas trop comment le justifier
autrement que par "dl est infiniment petit par rapport à l", en toute
rigueur, comment fait-on ?
donc
dS=2*pi*r*dl
II)
Concernant la demonstration de l'equation locale de la statique des
fluides
dp=-r*g*dz (r=rho)
Dans un fluide en équilibre on considère une tranche élémentaire
horizontale de fluide,de masse dm, de surface S et d'épaisseur dz
entre les cotes z et z+dz
Soit p la pression du fluide à l'altitude z
p+dp la pression à l'altitude z+dz
comment sait-on que la pression est l'alitude varient de la meme façon
(autrement dit qu'est ce qui nous permet de justifier qu'une
augmentation d'altitude dz entraine exactement une variation de
pression dp ? (ne connaissant pas le lien entre les deux, l'un
pourrait varier au carré par rapport à l'autre non par exemple ?))
III)
j'ai un exercice avec un bac dont le bord est un plan incliné de 60°
par rapport à la verticale (en gros c'est une piscine)
je dois calculer la pression exercée sur ce bord quand il est rempli
d'eau
je considère un élément dS ce plan (ou ce bord comme l'on veut)
soit (oz) un axe dirigé de haut en bas, L la largeur, cos 60=0.5, l la
longueur du bord incliné
dS=L*dl
dS=L*cos 60 * dz
dF=p*dS
mais la pression n'est pas la meme sur tout l'élément dS ! Elle varie
de façon infinitésimale non ? En toute rigueur qu'est ce qui permet de
négliger sa variation ? (dF étant une très petite valeur, il me semble
aberrant d'affimer que p est constante)
d²F=dp*dS ?
par avance, merci pour vos réponses
Fredo

Bah, là, j'ai pas envie de réfléchir.

[xfredox]

Post by Ranger Brun

Post by fredo
Bonjour,
I)
j'ai un exercice de physique portant sur une cone
pi*a*(R+r) ou a est la partie de la génératrice entre R et r
j'ai besoin de calculer une surface dS d'un tronçon
le résultat qui m'est donné est 2*pi*r*dl où dl est la variation
infinitésimale de la génératrice
comment arrive t'on à ce résultat svp ? (ça fait trois jours que je
cherche)
l/(l+dl)=r/R
dS=pi*dl*(R+r)
dS=pi*dl*r(1+l/(l+dl))
je pense que l/(l+dl)=1 mais je sais pas trop comment le justifier
autrement que par "dl est infiniment petit par rapport à l", en toute
rigueur, comment fait-on ?
donc
dS=2*pi*r*dl
II)
Concernant la demonstration de l'equation locale de la statique des
fluides
dp=-r*g*dz (r=rho)
Dans un fluide en équilibre on considère une tranche élémentaire
horizontale de fluide,de masse dm, de surface S et d'épaisseur dz
entre les cotes z et z+dz
Soit p la pression du fluide à l'altitude z
p+dp la pression à l'altitude z+dz
comment sait-on que la pression est l'alitude varient de la meme façon
(autrement dit qu'est ce qui nous permet de justifier qu'une
augmentation d'altitude dz entraine exactement une variation de
pression dp ? (ne connaissant pas le lien entre les deux, l'un
pourrait varier au carré par rapport à l'autre non par exemple ?))
III)
j'ai un exercice avec un bac dont le bord est un plan incliné de 60°
par rapport à la verticale (en gros c'est une piscine)
je dois calculer la pression exercée sur ce bord quand il est rempli
d'eau
je considère un élément dS ce plan (ou ce bord comme l'on veut)
soit (oz) un axe dirigé de haut en bas, L la largeur, cos 60=0.5, l la
longueur du bord incliné
dS=L*dl
dS=L*cos 60 * dz
dF=p*dS
mais la pression n'est pas la meme sur tout l'élément dS ! Elle varie
de façon infinitésimale non ? En toute rigueur qu'est ce qui permet de
négliger sa variation ? (dF étant une très petite valeur, il me semble
aberrant d'affimer que p est constante)
d²F=dp*dS ?
par avance, merci pour vos réponses
Fredo

Bah, là, j'ai pas envie de réfléchir.

Merci pour vos réponses, faut que j'approfondisse la notion de
différentielle et autre


Fréd

[Lucas Levrel]

Post by xfredox
Merci pour vos réponses, faut que j'approfondisse la notion de
différentielle et autre

De rien. N'hésite pas à revenir poser des questions.